Rectangle de périmètre minimal

ConseilNiveau 

  • quatrième pour le seul calcul littéral (sans graphique ni démonstration)

  • troisième, seconde

  • première si on choisit la méthode par dérivation

ConseilPrérequis

  • Pour la première méthode, les constructions de base avec DGPad

  • Produits remarquables

  • éventuellement : calcul de dérivée et variations de fonction (mais ce n'est pas obligatoire ici)

L'énoncé du problème.

Figure DGPad avec outils et repère(elle s'ouvrira dans un autre onglet).

Objectif de ce problème : la recherche, parmi tous les rectangles dont l'aire est donnée (ici 9 pour fixer les idées), de celui ou ceux dont le périmètre est minimal.

Première question : construire une figure dynamique, valable quelle que soit la position de M sur [AB].

La construction demandée c'est celle qui est visible en rose pâle. Mais cette construction garde son secret : elle est inaccessible au tap ou à la souris, et c'est voulu ! C'est une boîte noire.

Un outil bien utile à la construction : le cercle de rayon imposé (voir éventuellement le tutoriel à ce sujet)

Seconde question : le calcul.

  1. Grâce au DG-Blocks : Périmètre calculer en fonction de a, et de a seulement le périmètre en question.

  2. Construire le point P de coordonnées (a, Périmètre) dans le repère (O,I,J). La macro report de mesure algébrique est bien utile pour cette opération : montrer O, puis J, puis l'expression. Créer le lieu du point P. Quand le périmètre semble-t-elle minimum ?

  3. En papier-crayon :

    il semblerait que le périmètre minimal soit 12. Écrire Périmètre - 12 en fonction de a. Factoriser l'expression obtenue.

    Démontrer alors que 12 est bien un minimum

Rappel

Une petite vidéo dans l'exemple de la boîte sans couvercle explique comment utiliser Blockly pour effectuer le calcul demandé.