La boîte sans couvercle

ConseilNiveau

  • quatrième pour le seul calcul littéral (sans graphique ni démonstration)

  • troisième, seconde

  • première si on choisit la méthode par dérivation

ConseilPrérequis

  • Volume du parallélépipède rectangle

  • Produits remarquables

  • éventuellement : calcul de dérivée et variations de fonction (mais ce n'est pas obligatoire ici)

L'énoncé du problème

Ci-dessus : une simple image.

La figure DGPad avec les outils et le repère : elle s'ouvrira dans un autre onglet.

Remarque : on peut faire tourner la figure en 3D, il suffit d'un "clic-droit glisser" sur PC ou d'un "deux doigts glisser" sur tablette ; ou même, sur tablette, d'un simple "un doigt-glisser", à condition d'être en mode consultation (la fluidité sera meilleure).

ABCD est un carton carré de côté 4. M est un point variable. Dans chaque coin on découpe un petit carré de côté \(a\). En repliant les bords (comme le montre la figure 3D) on obtient une boîte sans couvercle.

Les questions

  1. Évaluer le volume de la boîte ainsi formée en fonction de a et de a seulement. On ouvrira et complétera le DG-Blocks de l'expression Réponse .

  2. Dans le repère (O,I,J) construire le point P de coordonnées (a , Réponse) (on pourra utiliser la macro report de mesure algébrique, la mesure a a déjà été reportée). Activer la trace de P ou donner le lieu de ce point (pour effacer une ancienne trace, il suffit d'un léger zoom ou d'une petite translation).

  3. En papier-crayon :

    il semblerait que le volume V maximum soit  8. Écrire V - 8 en fonction de a. Factoriser l'expression obtenue.

    Démontrer alors que 8 est bien un maximum.

Méthode

Cet exemple d'étude de fonction étant le premier de la liste, une vidéo de la solution est proposée ci dessous. La méthode de résolution est la même pour tous les items suivants.