Rectangle d'aire maximale

ConseilNiveau

  • quatrième pour le seul calcul littéral (sans graphique ni démonstration)

  • troisième, seconde

  • première si on choisit la méthode par dérivation

ConseilPrérequis

  • Aire du rectangle

  • Pour la première méthode : constructions géométriques de base avec DGPad

  • Produits remarquables

  • éventuellement : calcul de dérivée et variations de fonction (mais ce n'est pas obligatoire ici)

L'énoncé du problème

La figure DGPad avec les outils et le repère (elle s'ouvrira dans un autre onglet)

Objectif de ce problème : la recherche, parmi tous les rectangles de périmètre donné (ici 12 pour fixer les idées), de celui ou ceux dont l'aire est maximale.

Première méthode : par la construction d'une figure dynamique, valable quelle que soit la position de M sur [AB].

La construction demandée c'est celle qui est visible en rose pâle. Mais cette construction garde son secret : elle est inaccessible au tap ou à la souris, et c'est voulu ! C'est une boîte noire.

  1. Commencer par "plier" le segment bleu en quatre pour former un rectangle de périmètre 12. En utilisant les outils de construction comme perpendiculaire, milieu, parallèle, cercles, report de mesure au compas etc.

  2. Puis utiliser l'outil polygone pour créer le rectangle ainsi formé. Un "tap" sur ce dernier permet d'afficher l'inspecteur d'objet, et d'en afficher la mesure. Faire varier M pour trouver la réponse (approchée) à notre problème.

Seconde méthode : par le calcul.

  1. Ouvrir le DG-Blocks : Aire pour donner en fonction de a l'aire du rectangle

  2. Construire le point P de coordonnées (a, Aire) dans le repère (O,I,J). La macro report de mesure algébrique est bien utile pour cette opération : montrer O, puis J, puis l'expression. Créer le lieu du point P. Quand l'aire semble-t-elle maximale ?

  3. En papier-crayon :

    il semblerait que l'aire  maximum soit 9. Écrire Aire - 9 en fonction de a. Factoriser l'expression obtenue.

    Démontrer alors que 9 est bien un maximum.

Méthode

Une petite vidéo dans l'exemple de la boîte sans couvercle explique comment utiliser Blockly pour effectuer le calcul demandé.

Remarque

A l'intention des enseignants qui voudraient produire une figure semblable : on trouvera ici toutes les indications pour fabriquer une "boîte noire" (voir le paragraphe 5)