Logiciels et transformations
Conseil : Quels logiciels pour introduire les transformations ?
Bien évidemment on pense aux logiciels de géométrie dynamique. Mais on peut tout aussi bien, en toute première introduction dès la cinquième par exemple, utiliser un logiciel "à la Photoshop", comme "The Gimp" (libre et gratuit), un logiciel qui sert dans la vraie vie ! Les translations et rotations se font très naturellement. L'introduction aux agrandissements-réductions y est bien agréable : les tailles respectives peuvent s'afficher en % ou en pixels.
A - Quand Gimp fabrique des figures isométriques ... (ou non)
Conseil :
Ce genre de petit film (ou la vraie manipulation en classe au vidéo-projecteur du Gimp) peut servir d'introduction aux figures isométriques ; à condition d'adopter le point de vue suivant : deux figures sont isométriques lorsqu'on passe de l'une à l'autre par une suite de translations, rotations et éventuellement symétries axiales.
On pourra faire remarquer qu'avec rotations et translations les longueurs sont conservées, les angles également mais avec leur sens. Tandis que si une seule symétrie centrale est utilisée, les angles "changent de sens". Plus savamment : il y a les isométries directes et indirectes.
Amusant avec le Gimp : le cisaillement qui transforme les angles et les longueurs.
Amusant également : les développeurs de Gimp ont-ils oublié leur cours sur les angles orientés ? Parce que pour eux le signe adopté pour dire dans quel sens on tourne n'est pas celui adopté par la communauté des mathématiciens ! Ce qui montre bien que ce n'est qu'une question de convention ...
B - Quand Gimp fabrique des figures semblables.
Conseil :
Si on adopte le point de vue "deux figures sont semblables lorsqu'on passe de l'une à l'autre par une suite de translations, rotations, homothéties et éventuellement symétries axiales", on a obtenu ci-dessus des figures semblables à la première ; indirectement pour la dernière (mais directement pour les autres).
En cinquième et en quatrième on se contentera de parler d'agrandissement et de réduction. En troisième on parlera plutôt de figures semblables, pour ensuite enchaîner sur les cas de similitude.
C - Avec DGPad
Pourquoi le logiciel DGPad ?
Très rapidement (plus de détails ultérieurement) :
il est conçu spécialement pour le tactile avec une ergonomie très bien pensée (gestures, engagement direct systématique, mode "présentation" où la position du doigt est visible en vidéoprojection).
il est écrit en JavaScript, donc des figures qui se placent très facilement dans une page web, sans avoir à passer par un cloud quelconque.
c'est un logiciel libre, toute figure DGPad est publiable dans n'importe quel site ou manuel, sans versement de royalties ! (Pour la petite histoire : Sésamath a du refuser la signature d'un contrat, trop coûteux, qui lui aurait permis d'inclure des figures GeoGebra dans ses manuels ou sur son site ... )
le mode "macro" est très intuitif même et surtout pour des élèves de collège.
les angles : par défaut on est en mode "spécial collège" avec des degrés et des angles géométriques. Bien évidemment les angles orientés et les nombres complexes sont également présents.
la grande nouveauté 2016 : Il est maintenant possible à l'intérieur même du logiciel de programmer par blocs, avec des blocs à la Blockly plus précisément. Un manuel "programmer par blocs dans DGPad", ainsi que des articles dans MathemaTice sont en préparation.
Un exemple : la rotation.
M est un point mobile "sur" les objets dessinés. M' est son image par la rotation (angle réglable par curseur). M et M' laissent leurs traces quand l'autre curseur est réglé à 1.
Pour effacer les traces (avant de recommencer la figure par exemple avec un autre angle), il suffit de faire un léger zoom/anti-zoom, ou encore une petite translation de la figure.
Complément :
La même figure en plein écran, mais dans un autre onglet.
Les liens vers d'autres figures avec d'autres transformations sont donnés dans le paragraphe suivant.
Les autres isométries/similitudes.
La symétrie axiale.
La translation.
L'homothétie. Il semble sage au collège de se limiter aux homothéties positives, puisqu'une homothétie négative est la composée d'une homothétie positive et d'une symétrie centrale. Et pour ceux qui trouvent que parler de "composition" de transformations utilise un vocabulaire trop savant, il suffit de dire qu'elles "se suivent".
D - Au quotidien ...
Fondamental : Les transformations "par leurs actions".
Comme le demande le programme, les transformations doivent être vues sous cet angle. Il est hors de question de donner au collège une définition ponctuelle de la translation, de l'homothétie ou de la rotation ! Bref, leur introduction avec les logiciels de géométrie dynamique ou à la "Tortue Logo" semble un objectif raisonnable.
Fondamental : Et quelques "règles" à retenir.
Cela se faisait depuis de nombreuses années au collège : on admettait comme outils possibles pour les démonstrations le fait que les symétries sont des isométries.
On pourra faire de même pour toutes les nouvelles transformations et considérer comme outils valables pour les explications les affirmations suivantes :
les isométries conservent les angles et les longueurs
la translation transforme une droite en une droite parallèle, un segment [AB] en un segment parallèle et de "même sens" (ce qui signifie : par rapport à la droite (AA') B et B' sont dans le même demi-plan) ; même chose pour les demi-droites
idem pour la symétrie centrale sauf que les segments sont de "sens contraire"
pour l'homothétie : on peut de contenter des homothéties positives (puisqu'une homothétie négative est la composée d'une homothétie positive et d'une symétrie centrale) ; et dire que dans une homothétie de rapport k (k>0) l'image d'un segment [AB] est un segment [A'B'] parallèle, de même sens et de longueur k*AB.
Conseil : Dans la pratique
On n'oubliera pas que pour des élèves de collège démontrer par les transformations peut sembler assez abstrait (ce qui n’empêche pas l'enseignant de tenter l'expérience avec eux) ; mais que toute démonstration de ce type a son équivalent avec l'utilisation des cas d'isométrie et de similitude. Et que peut-être quelque part ce sera pour eux un peu plus tangible pour eux ...