Géométrie cycle 4 (programmes 2016)

"Le discours dominant à l'époque des mathématiques modernes mettait en avant le programme d'Erlangen de Felix Klein (1872). La thèse de Klein est qu'une géométrie consiste essentiellement en la donnée d'un groupe (de transformations) opérant sur un ensemble. Ce point de vue, reste, à mon avis, tout à fait valable, mais, tel quel, il est insuffisant car, s'il permet de comprendre de quelle géométrie relève tel ou tel théorème (par exemple Pythagore de la géométrie euclidienne, Thalès de la géométrie affine et Pappus de la géométrie projective), il n'explique pas par quels procédés on obtient ces théorèmes. Or, cette question est résolue aussi, à peu près à l'époque de Klein, par la théorie des invariants.....

... Or, dans le cas de la géométrie du collège, les invariants en question correspondent aux notions de longueur, d'angle et d'aire et un contresens majeur de la réforme des mathématiques modernes a été d'occulter au moins partiellement ces invariants qui restent encore mal aimés aujourd'hui, au profit des transformations.

On a vu que ce que dit la théorie c'est que les théorèmes d'une géométrie proviennent toujours de relations entre invariants relatifs à cette géométrie. La conséquence pratique de ce fait c'est que la constatation empirique que les invariants sont efficaces pour faire de la géométrie est pleinement justifiée par la théorie : tout problème de géométrie affine (resp. euclidienne) doit pouvoir se résoudre par usage des aires (resp. des longueurs et des angles). C'est cette réflexion mathématique qui motive ma position didactique en faveur d'un usage plus systématique des invariants au collège.

Dans la pratique, pour que l'utilisation des invariants aire et angle soit efficace il est nécessaire de disposer d'un petit nombre d'accessoires pour compléter ces outils. Pour les aires il s'agit essentiellement des “lemmes du collège”, cf. [Aires] ; pour les angles, on peut citer en vrac la somme des angles d'un triangle, l'usage du complémentaire et du supplémentaire, les angles alternes-internes et correspondants, et enfin, le théorème de l'angle inscrit."

(Daniel Perrin)

"Fondements théoriques de l'usage des cas d'isométrie comme outil.

Un problème crucial qu'on rencontre lorsqu'on travaille avec un groupe de transformations G d'un ensemble X est de dire si G est transitif, c'est-à-dire si on peut transformer n'importe quel élément de X en n'importe quel autre par l'action du groupe. Par exemple, dans le plan, le groupe des isométries opère transitivement sur l'ensemble des points ou sur celui des demi-droites. En revanche, il n'est pas transitif sur l'ensemble des segments, ou sur l'ensemble des couples de demi-droites de même sommet.

Lorsque le groupe n'est pas transitif, l'objectif est de d´écrire ses orbites, c'est-à-dire de donner un critère commode pour savoir si deux éléments peuvent ou non être transportés l'un sur l'autre. Beaucoup d'invariants géométriques peuvent s'interpréter en ces termes de description d'orbites, en visant un théorème du genre :

Deux éléments de X peuvent être échangés par l'action de G (i.e. sont dans la même orbite) si et seulement si certains de leurs invariants sont les mêmes.

Par exemple, deux segments peuvent être échangés par le groupe des isométries si et seulement si ils ont même longueur. Deux couples de demi-droites peuvent être échangés par le groupe des isométries si et seulement si ils ont même angle.

Or, que font les cas d'isométrie des triangles ? Ils décrivent exactement les orbites du groupe des isométries dans son action sur les triangles en donnant des critères commodes qui permettent d'affirmer l'existence d'une isométrie échangeant deux triangles (avec comme conséquence l'égalité des autres éléments que ceux utilisés) sans être obligé, comme c'est le cas actuellement, d'exhiber celle-ci.

Le même argument vaut évidemment pour les similitudes, avec, dans ce cas, deux avantages supplémentaires :

• il y a un critère (avec deux angles égaux) d'une simplicité enfantine,

• on connaît encore toutes les similitudes planes mais il est nettement plus compliqué que dans le cas des isométries de repérer celle qui va faire le travail."

(Daniel Perrin)

"Avec l'outil “triangles isométriques”, le raisonnement peut être entièrement à la charge de l'élève. Avec l'outil “transformations”, il est nécessaire de le découper en rondelles, toutes plus insipides les unes que les autres.

Par ailleurs des travaux récents de psychologues (Duval) ont montré qu'il y a dans ce type de preuve une difficulté liée à la dimension. Le plus naturel, pour les jeunes élèves, c'est la vision d'un objet géométrique (par exemple un triangle) comme une surface, car il s'agit d'un objet que l'on peut imaginer manipuler et déplacer, alors que c'est plus difficile pour les droites et les points. C'est ce qui rend plus faciles les preuves par les triangles isométriques : on les voit. De plus, dans les démonstrations à base de transformations, il est nécessaire de penser les points comme intersections de deux lignes (droites ou cercles) et cela semble être une véritable difficulté pour les débutants."

(Daniel Perrin)